Ένας μαθηματικός από χόμπι ανακαλύπτει ένα καινούργιου απεριοδικό πλακίδιο

Του Κώστα Δημητρόπουλου

Στα μέσα του περασμένου Νοέμβρη, ο David Smith, ένας συνταξιούχος τεχνικός εκτυπωτών και λάτρης των παζλ, των φράκταλ και των οδικών χαρτών, έκανε ένα από τα αγαπημένα του πράγματα: έπαιζε με τα σχήματα. Χρησιμοποιώντας ένα πακέτο λογισμικού ονόματι PolyForm Puzzle Solver, κατασκεύασε ένα ταπεινό πλακίδιο σε σχήμα καπέλου. Τώρα πειραματιζόταν για να δει πόσο μεγάλο μέρος της οθόνης μπορούσε να γεμίσει με αντίγραφα αυτού του πλακιδίου, χωρίς επικαλύψεις ή κενά.

Συνήθως όταν δημιουργούσε πλακίδια, είτε κάθονταν σε κάποιο επαναλαμβανόμενο μοτίβο είτε αποτύγχαναν να καλύψουν μεγάλο μέρος της οθόνης. Αλλά το «πλακάκι του καπέλου» φαινόταν να μην κάνει τίποτα από τα δύο. Ο Smith έκοψε 30 αντίγραφα του καπέλου σε χαρτόνι και τα συναρμολόγησε σε ένα τραπέζι. Μετά έκοψε άλλα 30 και συνέχισε. «Παρατήρησα ότι παρήγαγε ένα ψηφιδωτό που δεν είχα ξαναδεί», είπε. «Είναι ένα δύσκολο μικρό πλακάκι». Έστειλε μια περιγραφή του πλακιδίου του στον Craig Kaplan, έναν γνωστό του και επιστήμονα υπολογιστών στο Πανεπιστήμιο του Waterloo στον Καναδά, ο οποίος άρχισε αμέσως να ερευνά τις ιδιότητές του.

Στις 20 Μαρτίου, ο Smith και ο Kaplan, μαζί με δύο ακόμη ερευνητές, ανακοίνωσαν ότι το συγκεκριμένο πλακίδιο το αναζητούσαν μαθηματικοί για περισσότερες από πέντε δεκαετίες: ένα μόνο πλακίδιο του οποίου τα αντίγραφα μπορούν να γεμίσουν ολόκληρο το επίπεδο, αλλά μόνο σε σχέδια που δεν αποτελούνται από ένα επαναλαμβανόμενο μπλοκ πλακιδίων. Οι μαθηματικοί αποκαλούν ένα τέτοιο πλακίδιο, ή σύνολο πλακιδίων, «απεριοδικό», σε αντίθεση με σχήματα όπως τετράγωνα ή εξάγωνα που μπορούν να καλύψουν το επίπεδο με επαναλαμβανόμενο (ή περιοδικό) τρόπο.

Το πλακίδιο καπέλου ενσωματώνει «αρκετή πολυπλοκότητα για να διαταραχθεί βίαια η περιοδική τάξη σε όλες τις κλίμακες», έγραψαν οι ερευνητές στην έρευνά τους. Επιπλέον, συνειδητοποίησαν ότι το καπέλο είναι ένα από τα άπειρα διαφορετικά πλακάκια αυτού του τύπου.

Οι μαθηματικοί έψαχναν για ένα πλακίδιο σαν το καπέλο από τη δεκαετία του 1960, όταν ο Robert Berger κατασκεύασε ένα σύνολο 20.426 σχημάτων που, συνδυασμένα, καλύπτουν περιοδικά ένα επίπεδο. Το έργο του Berger ξεκίνησε έναν αγώνα δρόμου για την κατασκευή μικρότερων σετ απεριοδικών πλακιδίων, με αποκορύφωμα την ανακάλυψη του Roger Penrose στη δεκαετία του 1970 ενός σετ που περιείχε μόνο δύο απεριοδικά πλακίδια. Το 1982, ο Dan Shechtman ανακάλυψε ότι συμμετρίες παρόμοιες με αυτές των πλακιδίων Penrose εμφανίζονται στη φύση με τη μορφή δομών που ονομάζονται οιονεί κρύσταλλοι, σε έργο που του χάρισε το Νόμπελ Χημείας το 2011.

Από τότε, οι μαθηματικοί προσπαθούν να βρουν ένα μόνο πλακίδιο που να γεμίζει το δισδιάστατο επίπεδο περιοδικά, χωρίς κενά ή επικαλύψεις. Ο Ludwig Danzer, ένας Γερμανός γεωμέτρης, ονόμασε παιχνιδιάρικα ένα τέτοιο πλακίδιο "einstein" - ένα λογοπαίγνιο στη γερμανική φράση "ein stein", που σημαίνει "ένα κομμάτι".

Στη δεκαετία του 1990, δύο ομάδες βρήκαν τρόπους να επικαλύπτουν γειτονικά αντίγραφα ενός πλακιδίου 10 όψεων για να καλύπτουν περιοδικά το επίπεδο. Περίπου μια δεκαετία αργότερα, η Joan Taylor, μια ερασιτέχνης μαθηματικός στην Τασμανία, ανακάλυψε ένα σχήμα με πολλά αποσυνδεδεμένα κομμάτια. Αυτή και ο Joshua Socolar, ένας φυσικός στο Πανεπιστήμιο Duke, έδειξαν σε μια εργασία του 2010 ότι καλύπτει περιοδικά ένα επίπεδο. Και μόλις πέρυσι, οι μαθηματικοί Rachel Greenfeld του Ινστιτούτου Προηγμένων Μελετών και ο Τέρενς Τάο του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια στο Λος Άντζελες ανακάλυψαν ένα σχήμα υψηλών διαστάσεων που καλύπτει περιοδικά το χώρο, χωρίς καν να χρειάζεται να περιστραφεί ή να ανακλαστεί.

Αλλά κανείς δεν μπορούσε να βρει έναν αληθινό einstein — ένα απλό δισδιάστατο σχήμα που καλύπτεται απεριοδικά. Τελικά, οι μαθηματικοί άρχισαν να αναρωτιούνται αν υπάρχει καν κάποιο τέτοιο πλακίδιο, είπε η Marjorie Senechal, ερευνήτρια πλακιδίων και επίτιμη καθηγήτρια στο Smith College. Το γεγονός ότι ένας einstein τόσο απλός όσο το καπέλο του Σμιθ βρισκόταν εκεί έξω καθ' όλη τη διάρκεια είναι "απλώς συγκλονιστικό", είπε.

Ίσως, υποθέτει, ο λόγος που το καπέλο έχει ‘‘αποφύγει’’ την ανακάλυψη μέχρι τώρα είναι επειδή πολλοί μαθηματικοί έχουν επικεντρωθεί σε σχήματα με «απαγορευμένες» συμμετρίες - εκείνα που δεν μπορούν να εμφανιστούν σε περιοδικά πλακάκια. Τα πλακάκια του Penrose, για παράδειγμα, έχουν πενταπλάσιες συμμετρίες, όπως αυτές που βρίσκονται στα πεντάγωνα και στα πεντάκτινα αστέρια. Τα κανονικά πεντάγωνα δεν μπορούν να καλύψουν το επίπεδο, επομένως οι πενταπλάσιες συμμετρίες είναι ένα φυσικό μέρος για να αναζητήσετε πλακάκια που δεν μπορούν να είναι περιοδικά.

Δεν είναι σαφές σε τι θα μπορούσε να οδηγήσει η ανακάλυψή του εκτός του κόσμου των μαθηματικών, αλλά «υπάρχουν πολλές εξαιρετικές εφαρμογές στον πραγματικό κόσμο στην τέχνη, το σχέδιο, την αρχιτεκτονική», λέει ο Kaplan. Ο Smith λέει ότι θα μπορούσε να βοηθήσει στη μελέτη των οιονεί κρυστάλλων.

Με πληροφορίες από: QuantaMagazine, TheGuardian,

Τα άρθρα και τα σχόλια που δημοσιεύονται στην ιστοσελίδα Athenian Herald εκφράζουν τους συγγραφείς τους. Η Athenian Herald δεν φέρει καμία ευθύνη για τις απόψεις που εκφράζονται μέσω της ιστοσελίδας.